統計

std(itr; corrected::Bool=true, mean=nothing[, dims])

計算集合 itr 的樣本標準差。

此演算法會回傳生成分佈標準差的估計值，假設 itr 的每個項目都是從同一個未知分佈抽取的樣本，且這些樣本互不相關。對於陣列，此計算等於計算 sqrt(sum((itr .- mean(itr)).^2) / (length(itr) - 1))。如果 corrected 為 true，則會將總和縮放為 n-1，而如果 corrected 為 false，則會將總和縮放為 n，其中 n 為 itr 中的元素數量。

如果 itr 是 AbstractArray，則可以提供 dims 來計算維度上的標準差。

可以提供預先計算的 mean。當指定 dims 時，mean 必須是與 mean(itr, dims=dims) 形狀相同的陣列（允許額外的尾隨單一維度）。

stdm(itr, mean; corrected::Bool=true[, dims])

計算集合 itr 的樣本標準差，已知平均值 (們) mean。

此演算法會回傳生成分佈標準差的估計值，假設 itr 的每個項目都是從同一個未知分佈抽取的樣本，且這些樣本互不相關。對於陣列，此計算等於計算 sqrt(sum((itr .- mean(itr)).^2) / (length(itr) - 1))。如果 corrected 為 true，則會將總和縮放為 n-1，而如果 corrected 為 false，則會將總和縮放為 n，其中 n 為 itr 中的元素數量。

如果 itr 是 AbstractArray，則可以提供 dims 來計算維度上的標準差。在這種情況下，mean 必須是與 mean(itr, dims=dims) 形狀相同的陣列（允許額外的尾隨單一維度）。

var(itr; corrected::Bool=true, mean=nothing[, dims])

計算集合 itr 的樣本變異數。

此演算法會回傳生成分佈變異數的估計值，假設 itr 的每個輸入都是從同一個未知分佈中抽取的樣本，且這些樣本互不相關。對於陣列，此運算等於計算 sum((itr .- mean(itr)).^2) / (length(itr) - 1)。如果 corrected 為 true，則總和會以 n-1 縮放，而如果 corrected 為 false，則總和會以 n 縮放，其中 n 為 itr 中元素的數量。

如果 itr 是 AbstractArray，則可以提供 dims 來計算維度上的變異數。

可以提供預先計算的 mean。當指定 dims 時，mean 必須是與 mean(itr, dims=dims) 形狀相同的陣列（允許額外的尾隨單一維度）。

varm(itr, mean; dims, corrected::Bool=true)

計算集合 itr 的樣本變異數，已知平均數為 mean。

此演算法會回傳生成分佈變異數的估計值，假設 itr 的每個輸入都是從同一個未知分佈中抽取的樣本，且這些樣本互不相關。對於陣列，此運算等於計算 sum((itr .- mean(itr)).^2) / (length(itr) - 1)。如果 corrected 為 true，則總和會以 n-1 縮放，而如果 corrected 為 false，則總和會以 n 縮放，其中 n 為 itr 中元素的數量。

如果 itr 是 AbstractArray，則可以提供 dims 來計算維度上的變異數。在這種情況下，mean 必須是與 mean(itr, dims=dims) 形狀相同的陣列（允許額外的尾隨單例維度）。

cor(x::AbstractVector)

回傳數字一。

cor(X::AbstractMatrix; dims::Int=1)

計算矩陣 X 沿著維度 dims 的 Pearson 相關矩陣。

cor(x::AbstractVector, y::AbstractVector)

計算向量 x 和 y 之間的 Pearson 相關。

cor(X::AbstractVecOrMat, Y::AbstractVecOrMat; dims=1)

計算向量或矩陣 X 和 Y 沿著維度 dims 之間的 Pearson 相關。

cov(x::AbstractVector; corrected::Bool=true)

計算向量 x 的變異數。如果 corrected 為 true（預設值），則總和會縮放為 n-1，而如果 corrected 為 false，則總和會縮放為 n，其中 n = length(x)。

cov(X::AbstractMatrix; dims::Int=1, corrected::Bool=true)

計算矩陣 X 沿著維度 dims 的共變異數矩陣。如果 corrected 為 true（預設值），則總和會縮放為 n-1，而如果 corrected 為 false，則總和會縮放為 n，其中 n = size(X, dims)。

cov(x::AbstractVector, y::AbstractVector; corrected::Bool=true)

計算向量 x 和 y 之間的共變異數。如果 corrected 為 true（預設值），則計算 $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x) (y_i-\bar y)^*$，其中 $*$ 表示複數共軛，且 n = length(x) = length(y)。如果 corrected 為 false，則計算 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x) (y_i-\bar y)^*$。

cov(X::AbstractVecOrMat, Y::AbstractVecOrMat; dims::Int=1, corrected::Bool=true)

計算向量或矩陣 X 和 Y 沿著維度 dims 之間的共變異數。如果 corrected 為 true（預設值），則總和會縮放為 n-1，而如果 corrected 為 false，則總和會縮放為 n，其中 n = size(X, dims) = size(Y, dims)。

mean!(r, v)

計算 r 單一維度的 v 的平均值，並將結果寫入 r。

範例

julia> using Statistics

julia> v = [1 2; 3 4]
2×2 Matrix{Int64}:
 1  2
 3  4

julia> mean!([1., 1.], v)
2-element Vector{Float64}:
 1.5
 3.5

julia> mean!([1. 1.], v)
1×2 Matrix{Float64}:
 2.0  3.0

mean(itr)

計算集合中所有元素的平均值。

範例

julia> using Statistics

julia> mean(1:20)
10.5

julia> mean([1, missing, 3])
missing

julia> mean(skipmissing([1, missing, 3]))
2.0

mean(f, itr)

將函數 f 套用至集合 itr 的每個元素，並取平均值。

julia> using Statistics

julia> mean(√, [1, 2, 3])
1.3820881233139908

julia> mean([√1, √2, √3])
1.3820881233139908

mean(f, A::AbstractArray; dims)

將函數 f 套用至陣列 A 的每個元素，並在維度 dims 上取平均值。

julia> using Statistics

julia> mean(√, [1, 2, 3])
1.3820881233139908

julia> mean([√1, √2, √3])
1.3820881233139908

julia> mean(√, [1 2 3; 4 5 6], dims=2)
2×1 Matrix{Float64}:
 1.3820881233139908
 2.2285192400943226

mean(A::AbstractArray; dims)

在指定的維度上計算陣列的平均值。

範例

julia> using Statistics

julia> A = [1 2; 3 4]
2×2 Matrix{Int64}:
 1  2
 3  4

julia> mean(A, dims=1)
1×2 Matrix{Float64}:
 2.0  3.0

julia> mean(A, dims=2)
2×1 Matrix{Float64}:
 1.5
 3.5

median!(v)

類似於 median，但可能會覆寫輸入向量。

median(itr)

計算集合中所有元素的中位數。對於偶數個元素，不存在確切的中位數元素，因此結果等於計算兩個中位數元素的平均值。

範例

julia> using Statistics

julia> median([1, 2, 3])
2.0

julia> median([1, 2, 3, 4])
2.5

julia> median([1, 2, missing, 4])
missing

julia> median(skipmissing([1, 2, missing, 4]))
2.0

median(A::AbstractArray; dims)

計算陣列沿著指定維度的中位數。

範例

julia> using Statistics

julia> median([1 2; 3 4], dims=1)
1×2 Matrix{Float64}:
 2.0  3.0

middle(x)

計算純量值的中心，等於 x 本身，但為了保持一致性，類型為 middle(x, x)。

middle(x, y)

計算兩個數字 x 和 y 的中心，其值和類型都等於計算其平均值 ((x + y) / 2)。

middle(a::AbstractArray)

計算陣列 a 的中心，包括找出其極值，然後計算其平均值。

julia> using Statistics

julia> middle(1:10)
5.5

julia> a = [1,2,3.6,10.9]
4-element Vector{Float64}:
  1.0
  2.0
  3.6
 10.9

julia> middle(a)
5.95

quantile!([q::AbstractArray, ] v::AbstractVector, p; sorted=false, alpha::Real=1.0, beta::Real=alpha)

計算向量 v 在指定機率或機率向量或元組 p 上 [0,1] 區間的百分位數。如果 p 是向量，也可以指定一個選擇性的輸出陣列 q。（如果未提供，則會建立一個新的輸出陣列。）關鍵字參數 sorted 表示是否可以假設 v 已排序；如果為 false（預設值），則 v 的元素將在原地部分排序。

樣本百分位數定義為 Q(p) = (1-γ)*x[j] + γ*x[j+1]，其中 x[j] 是 v 的第 j 個順序統計量，j = floor(n*p + m)，m = alpha + p*(1 - alpha - beta)，且 γ = n*p + m - j。

預設情況下 (alpha = beta = 1)，百分位數是透過在點 ((k-1)/(n-1), x[k]) 之間進行線性插值計算的，其中 k = 1:n，且 n = length(v)。這對應於 Hyndman 和 Fan (1996) 的定義 7，並且與 R 和 NumPy 預設值相同。

關鍵字參數 alpha 和 beta 對應於 Hyndman 和 Fan 中的相同參數，將它們設定為不同的值允許使用本文中定義的 4-9 方法中的任何一種方法來計算百分位數

• 定義 4：alpha=0、beta=1
• 定義 5：alpha=0.5、beta=0.5
• 定義 6：alpha=0、beta=0 (Excel PERCENTILE.EXC、Python 預設值、Stata altdef)
• 定義 7：alpha=1、beta=1 (Julia、R 和 NumPy 預設值、Excel PERCENTILE 和 PERCENTILE.INC、Python 'inclusive')
• 定義 8：alpha=1/3、beta=1/3
• 定義 9：alpha=3/8、beta=3/8

參考資料

• Hyndman, R.J 和 Fan, Y. (1996)「統計套件中的樣本分位數」，美國統計學家，第 50 卷，第 4 期，第 361-365 頁

• 維基百科上的分位數 詳細說明了不同的分位數定義

範例

julia> using Statistics

julia> x = [3, 2, 1];

julia> quantile!(x, 0.5)
2.0

julia> x
3-element Vector{Int64}:
 1
 2
 3

julia> y = zeros(3);

julia> quantile!(y, x, [0.1, 0.5, 0.9]) === y
true

julia> y
3-element Vector{Float64}:
 1.2000000000000002
 2.0
 2.8000000000000003

quantile(itr, p; sorted=false, alpha::Real=1.0, beta::Real=alpha)

在指定機率或機率向量或元組 p 上，計算集合 itr 的分位數，區間為 [0,1]。關鍵字引數 sorted 指出是否可以假設 itr 已排序。

樣本分位數定義為 Q(p) = (1-γ)*x[j] + γ*x[j+1]，其中 x[j] 是 itr 的第 j 個順序統計量，j = floor(n*p + m)，m = alpha + p*(1 - alpha - beta)，且 γ = n*p + m - j。

預設情況下 (alpha = beta = 1)，分位數透過在點 ((k-1)/(n-1), x[k]) 之間的線性內插來計算，其中 k = 1:n，且 n = length(itr)。這對應於 Hyndman 和 Fan (1996) 的定義 7，且與 R 和 NumPy 預設值相同。

關鍵字參數 alpha 和 beta 對應於 Hyndman 和 Fan 中的相同參數，將它們設定為不同的值允許使用本文中定義的 4-9 方法中的任何一種方法來計算百分位數

• 定義 4：alpha=0、beta=1
• 定義 5：alpha=0.5、beta=0.5
• 定義 6：alpha=0、beta=0 (Excel PERCENTILE.EXC、Python 預設值、Stata altdef)
• 定義 7：alpha=1、beta=1 (Julia、R 和 NumPy 預設值、Excel PERCENTILE 和 PERCENTILE.INC、Python 'inclusive')
• 定義 8：alpha=1/3、beta=1/3
• 定義 9：alpha=3/8、beta=3/8

參考資料

• Hyndman, R.J 和 Fan, Y. (1996)「統計套件中的樣本分位數」，美國統計學家，第 50 卷，第 4 期，第 361-365 頁

• 維基百科上的分位數 詳細說明了不同的分位數定義

範例

julia> using Statistics

julia> quantile(0:20, 0.5)
10.0

julia> quantile(0:20, [0.1, 0.5, 0.9])
3-element Vector{Float64}:
  2.0
 10.0
 18.000000000000004

julia> quantile(skipmissing([1, 10, missing]), 0.5)
5.5